Residue Field

定义 Definition

residue field（剩余域/残余域）：在代数与代数几何中，给定一个局部环 \(R\) 的极大理想 \(\mathfrak m\)，其剩余域定义为商域 \(R/\mathfrak m\)。它刻画了在某个“点”（对应 \(\mathfrak m\)）处把所有“无穷小量”忽略后得到的字段，用来描述该点的取值与局部信息。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈrɛzɪˌdjuː fiːld/ （也常见 /ˈrɛzɪˌduː fiːld/）

例句 Examples

For a local ring \(R\) with maximal ideal \(\mathfrak m\), the residue field is \(R/\mathfrak m\).
对一个极大理想为 \(\mathfrak m\) 的局部环 \(R\)，其剩余域是 \(R/\mathfrak m\)。

In algebraic geometry, the residue field at a point records the values of regular functions at that point, possibly in a field extension of the base field.
在代数几何中，一个点处的剩余域记录了正则函数在该点的取值，这个取值所在的域可能是基域的扩张。

词源 Etymology

residue 源自拉丁语 residuum（“剩余之物、余留”），在数学里常表示“取模之后剩下的部分/商结构中的余留信息”；field 在代数中指“域”。因此 residue field 直观上就是“把某个局部对象按极大理想取商后留下的那个域”。

相关词 Related Words

• Local Ring
• Maximal Ideal
• Prime Ideal
• Quotient Ring
• Localization
• Fraction Field
• Valuation Ring
• Spectrum

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald）——在局部环、极大理想与 \(R/\mathfrak m\) 的讨论中频繁出现。
• Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（David Eisenbud）——用于描述点的局部性质与几何解释。
• Algebra（Serge Lang）——在交换代数与局部化相关章节中出现。
• Algebraic Geometry（Robin Hartshorne）——在层、局部环与点处的剩余域（\(k(x)\)）的语境中出现。